Apuntes de cálculo diferencial e integral - Andrade, Arnulfo; García, Pablo; Oregel, Felipe; Castañeda, Erik (My University, 2012)
P R O L O G O El desarrollo de las matemáticas ha sido fundamental en el progreso científico y tecnológico de los últimos cien años. Entre las ramas de las matemáticas se encuentra el cálculo dife rencial e integral, que involucra numerosas ideas relacionadas - con velocidades, razones de variación, optimización, cálculo de áreas , volúmenes y otros conceptos indispensables en ingeniería y en otros campos del conocimiento. Los orígenes del cálculo se remontan a los griegos, hace más de dos mil años, quienes pretendían determinar el área de una cierta región con un procedimiento que denominaron método de exhaución, que consistía en inscribir una región poligonal en la región dada y repetir el procedimiento tomando polígonos con mayor número de lados cada vez . En el siglo XVI con la introducción de nuevos símbol os algeb rai cos, revivió el interés por dicho método y se descubrieron muchos resultados con los trabajos de Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pas cal y Wallis entre otros . - Este método, llamado más .tarde cálculo integral, recibió sumayor impulso en el siglo XV!'I con Isaac Newton (1642 - 1727) y W. Gottfried Leibniz (1646 - 1716) y en el siglo XIX Cauchy y Riemann le dieron una base matemática firme. El problema geométrico de determinar la recta tangente a ·una cur va en un punto determinado, dio origen al cálculo diferencial, qüe apareció en el siglo XVII a través de los estudios del matemático francés Pierre Fermat, que estableció ideas rudimentarias relacio nadas a la noción de derivada. - El primero en conectar los dos problemas geométricos inherentes al cálculo diferencial y al cálculo integral fue Isaac Barrow (1630- 1677), aunque quienes comprendieron y promovieron su importancia fueron Newton y Leibniz. En los planes de estudio de todas las licenciaturas que se impar ten en la Facultad de Ingeniería de la U.N.A.M . , se incluye estecurso de cálculo diferencial e integral. En estos apuntes se pretende cubrir el programa de la asignatura de cálculo diferencial e integral aprobado por el H. Consejo Técnico de la Facultad el 21 de octubre de 1981. En los primeros cinco capítulos se tratan los conceptos de función, límite, derivada, así como aplicaciones de los mismos. En el capítulo VI se presentan la integral definida y la integral indefinida complementadas por los principales teoremas del cálculo integral . El capitulo VII abarca el estudio de l as funcion es logarí tmica y exponencial, además se hace un breve análisis del teorema de L'Hopital y de las integrales impropias. En el capítulo VIII se ven los principales ' métodos de integración y algunas aplicaciones de la integral defin i da, terminando con el concep~o de ecuaciones diferenciales y su solución para al gunos t i pos senc i 11 os. - Al final se proporciona una bibliografía, .con ayuda de la cual se pueden ampliar y profundizar los temas de esta asignatura. El mejoramiento de estos apuntes podrá lograrse con ayuda de las críticas y sugerencias de profesores y alumnos , por lo que agrade ceremos las aportaciones que se hagan llegar a la coordinación de la materia con el objeto de mejorar futuras ediciones . Expresamos nuestro reconocimiento a los señores profesores, ing~ ni eros: ARNULFO ANDRADE DELGADO PABLO GARCIA Y COLOME FELIPE OREGEL SANCHEZ ERIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA por su valiosa intervención en la elaboración de estos apuntes, así como a las licenciadas: IRMA HINOJOSA FELIX ~1ARIA CUAIRAN RUIDIAZ por su colaboración en la adaptación pedagógic~ de los mismos . FACULTAD DE INGENIERIA DIVISION DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS BASICAS
P R O L O G O El desarrollo de las matemáticas ha sido fundamental en el progreso científico y tecnológico de los últimos cien años. Entre las ramas de las matemáticas se encuentra el cálculo dife rencial e integral, que involucra numerosas ideas relacionadas - con velocidades, razones de variación, optimización, cálculo de áreas , volúmenes y otros conceptos indispensables en ingeniería y en otros campos del conocimiento. Los orígenes del cálculo se remontan a los griegos, hace más de dos mil años, quienes pretendían determinar el área de una cierta región con un procedimiento que denominaron método de exhaución, que consistía en inscribir una región poligonal en la región dada y repetir el procedimiento tomando polígonos con mayor número de lados cada vez . En el siglo XVI con la introducción de nuevos símbol os algeb rai cos, revivió el interés por dicho método y se descubrieron muchos resultados con los trabajos de Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pas cal y Wallis entre otros . - Este método, llamado más .tarde cálculo integral, recibió sumayor impulso en el siglo XV!'I con Isaac Newton (1642 - 1727) y W. Gottfried Leibniz (1646 - 1716) y en el siglo XIX Cauchy y Riemann le dieron una base matemática firme. El problema geométrico de determinar la recta tangente a ·una cur va en un punto determinado, dio origen al cálculo diferencial, qüe apareció en el siglo XVII a través de los estudios del matemático francés Pierre Fermat, que estableció ideas rudimentarias relacio nadas a la noción de derivada. - El primero en conectar los dos problemas geométricos inherentes al cálculo diferencial y al cálculo integral fue Isaac Barrow (1630- 1677), aunque quienes comprendieron y promovieron su importancia fueron Newton y Leibniz. En los planes de estudio de todas las licenciaturas que se impar ten en la Facultad de Ingeniería de la U.N.A.M . , se incluye estecurso de cálculo diferencial e integral. En estos apuntes se pretende cubrir el programa de la asignatura de cálculo diferencial e integral aprobado por el H. Consejo Técnico de la Facultad el 21 de octubre de 1981. En los primeros cinco capítulos se tratan los conceptos de función, límite, derivada, así como aplicaciones de los mismos. En el capítulo VI se presentan la integral definida y la integral indefinida complementadas por los principales teoremas del cálculo integral . El capitulo VII abarca el estudio de l as funcion es logarí tmica y exponencial, además se hace un breve análisis del teorema de L'Hopital y de las integrales impropias. En el capítulo VIII se ven los principales ' métodos de integración y algunas aplicaciones de la integral defin i da, terminando con el concep~o de ecuaciones diferenciales y su solución para al gunos t i pos senc i 11 os. - Al final se proporciona una bibliografía, .con ayuda de la cual se pueden ampliar y profundizar los temas de esta asignatura. El mejoramiento de estos apuntes podrá lograrse con ayuda de las críticas y sugerencias de profesores y alumnos , por lo que agrade ceremos las aportaciones que se hagan llegar a la coordinación de la materia con el objeto de mejorar futuras ediciones . Expresamos nuestro reconocimiento a los señores profesores, ing~ ni eros: ARNULFO ANDRADE DELGADO PABLO GARCIA Y COLOME FELIPE OREGEL SANCHEZ ERIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA por su valiosa intervención en la elaboración de estos apuntes, así como a las licenciadas: IRMA HINOJOSA FELIX ~1ARIA CUAIRAN RUIDIAZ por su colaboración en la adaptación pedagógic~ de los mismos . FACULTAD DE INGENIERIA DIVISION DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS BASICAS
Keywords: Cálculo diferencial e integral